無限に複雑な理由
各点について「z = z² + c」を繰り返し、無限大に飛んでいくか踏みとどまるかを色で表したものです。境界線は無限に入り組んでいて、拡大するたびに新しい渦や、全体と同じ小さなマンデルブロが現れます。たった1行の式が生む無限の世界です。
計算のやり方
画面の各点を複素数 c とみなし、z₀=0 から z = z² + c を繰り返します。|z| が2を超えたら「発散」と判定し、そこまでにかかった回数で色を付けます。何回繰り返しても2を超えない点が“黒い本体”＝マンデルブロ集合です。ズームするほど必要な反復回数が増え、計算は重くなります。
有名な観光スポット
| 名前 | 座標 | 見どころ |
|---|---|---|
| タツノオトシゴの谷 | c ≈ −0.75 + 0.1i | 本体と大きな円のつなぎ目。渦巻きが連なる |
| 象の谷 | c ≈ 0.275 + 0i | 右端のくびれ。象の鼻のような形が並ぶ |
| ミニ・マンデルブロ | c ≈ −1.75 + 0i | 左のアンテナの先に、本体そっくりの小さな集合 |
この図形の“異常さ”
集合の面積は有限（約1.506）なのに、境界線の長さは無限で、境界のフラクタル次元は2（宍倉光広、1991年）——線なのに面と同じ次元を持つという、数学的にも異常な図形です。1980年にブノワ・マンデルブロがコンピュータで初めて描き、フラクタルという言葉とともに世界に広まりました。
よくある質問
- どこまでズームできる？
- 数値の精度の限界まで。本ツールでも数十段は潜れます。
- データは送信されますか？
- いいえ。すべてブラウザ内で計算します。
- 黒い部分の中はどうなっている？
- どこまで反復しても発散しない点の集まりなので、拡大しても黒一色です。面白い模様はすべて境界の近くにあります。
- ズームの限界は？
- JavaScriptの倍精度浮動小数点では、10の13〜14乗倍程度で座標の区別ができなくなり、模様がにじみます。それ以上のズームには任意精度計算が必要です。