結論：フラクタルとは、一部を拡大すると全体とそっくりな形が現れる「自己相似」な図形のこと。コッホ雪片は、線を折り曲げる単純な操作のくり返しだけで、無限に入り組んだ縁を持つ図形になります。
コッホ曲線・コッホ雪片とは
コッホ曲線は、1904年に数学者ヘルゲ・フォン・コッホが考えた図形です。1本の線分を3等分し、真ん中の区間を山型（正三角形の2辺）に置きかえます。この操作を各線分にくり返すと、ギザギザがどんどん細かくなります。正三角形の3辺すべてにこれを行ったものが「コッホ雪片」で、雪の結晶のような輪郭になります。
不思議な性質
コッホ雪片は、面積は有限なのに周の長さは無限に伸びていきます。反復のたびに辺の数が4/3倍に増えるためです。
コッホ雪片は、面積は有限なのに周の長さは無限に伸びていきます。反復のたびに辺の数が4/3倍に増えるためです。
いろいろなフラクタル
- シェルピンスキー：三角形から中央の三角形をくり抜き続ける図形
- ドラゴン曲線：紙を半分に折り続けたときの折り目が作る曲線
フラクタルは数学の世界だけのものではありません。海岸線・樹木の枝・雲・血管の分かれ方など、自然界のいたるところに自己相似の構造が見られます。
よくある質問
- フラクタルの「次元」って何ですか？
- 直線は1次元、面は2次元ですが、フラクタルはその中間の「1.26次元」のような分数の次元（フラクタル次元）を持ちます。
- どこまで反復できますか？
- 画面では6回までにしています。理論上は無限にくり返せ、いくら拡大しても新しいギザギザが現れます。
- 自然界のどこにありますか？
- 海岸線、シダの葉、樹木、雷の枝分かれ、雲の輪郭などが代表例です。
参考
- von Koch, H. (1904) コッホ曲線の原論文
- Mandelbrot, B. 『フラクタル幾何学』（フラクタルの概念を確立）
- Mandelbrot, B. (1967) "How Long Is the Coast of Britain?" (Science)